martes, 7 de agosto de 2012

aplicaciones de uma transformacion lineal

En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un 
cuerpo dado.

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
  1. T(u+v) = T(u) + T(v) \,
  2. T(ku) = kT(u) \, donde k es un escalar.

Transformación lineal identidad

T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x, \forall x \in V

Homotecias

T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K}
Si k > 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal T: V → W que satisface:
 T(v_i) = w_i,  \forall 1\le i\le n
 
Según la teoría de Brevis-Devaud, una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))
 
 

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