matriz asociada de una transformacion lineales

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v₁, ..., v_n} y el espacio W tiene una base {w₁, ..., w_m}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A _{m x n}.

Si T (v_i ) = a_i1 w₁ + .... + a_im w_m, entonces la columna i de A es (a_i1 .... a_im )^T

Ejemplos

ü Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}. a) ¿ Matriz A?         Transformado de (1, 0) = (1, 0)         Transformado de (0, 1) = (0, -1)        Entonces la matriz la matriz de la transformación es: b) ¿ Matriz B?         Transformado de (1, 0) = (-1, 0)         Transformado de (0, 1) = (0, -1)      Entonces la matriz la matriz de la transformación es:   ü Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5 ® P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤ 4 en polinomios de grado ≤ 2). Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}      Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)      Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)      Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)      Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)      Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12) Entonces la matriz la matriz de la transformación es: