tranformaciones lineales

DEFINICIÓN

Transformación lineal.- Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v
V un vector único Tv
W y que satisface para cada u y v en V y cada escalar,

T (u + v) = Tu + Tv

y

T(
v) =
Tv

Terminología. Las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.

EJEMPLOS

La transformación cero.- Sean V yW espacios vectoriales y defina T:V W por Tv= 0 para todo v en V. Entonces T(v1 + v2) = 0= 0 + 0= Tv1 + Tv2 y t (
v) = 0=
0=
Tv. En este caso T se llama la transformación cero.

La transformación identidad.- Sea V un espacio vectorial y defina I: V V por Iv= v para todo v en V. Aquí es obvio que I es una transformación lineal, la cual se llama transformación identidad u operador identidad.

Transformación dee reflexión.- Sea T: R2 R2 definida por T = . Es sencillo verificar T es lineal. Geométricamente , T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y.

6.2 IMAGEN Y NÚCLEO

DEFINICIÓN

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal.

Entonces

El núcleo de T, denotado por un T , esta dado por

Un T= v
V: Tv = 0

La imagen de T, denotado por imagen T, está dada por

Imagen T = w
W: w = Tv para alguna v
V
EJEMPLO
Núcleo e imagen de la transformación cero.- Sea Tv= 0 para todo v
V (T es la transformación cero). Entonces un T = V e imagen T = 0

representación matricial de una transformación lineal

Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, W un espacio vectorial real de dimensión m y T: V W una transformación lineal. Sean B1= v1, v2, . . ., vn una base para V y B2