lunes, 6 de agosto de 2012

algebra de transformaciones llineales

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser facilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más facilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interes demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:
T(u+v) = T(u) + T(v) \,
T(ku) = kT(u) \,donde k es un escalar.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Para detalles específicos sobre estos, ver el artículo Operador (mecánica cuántica).

Propiedades de las transformaciones lineales


Transformación Lineal Singular y No Singular

Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformación lineal de en . Entonces, es no singular si:X
En caso contrario es singular.

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo 

 

Clasificación de las transformaciones lineales 

Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.

Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).
Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo). Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.


Definición 1   Sean espacios vectoriales, y sea . Diremos que es:
Una transformación lineal (o morfismo ) si dados , , $ T ( ax + by) = aT( x ) + b T( y ) $
Un Monomorfismo si $ T $es un morfismo inyectivo.
Un epimorfismo si $ T $es un morfismo sobreyectivo.
Un isomorfismo si $ T $es un morfismo biyectivo.
Además llamaremos ( para abreviar) al espacio de morfismos de $ T : V \longrightarrow W $, donde es la función constante cero, esto es:
$\displaystyle 0_{L} : V \longrightarrow W, \;\;\; 0_{L}(v) = 0_{w} \;\;\; (v \in V ) $
Y la suma y producto escalar en $ L $se definen así:
Si $ T, S \in L $, entonces $ T +_{L} S $es la transformación dada por $ ( T +_{L} S )(v) = T(v) +_{W} S(v) $.
Si , entonces es la transformación dada por. 

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