Una transformación lineal es un
conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones
trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser facilmente
interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre
y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más
facilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más
sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica
llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de
cálculos, por lo que es de gran interes demostrar que un proceso puede ser
reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas
operaciones forman una transformación lineal.
Se denomina transformación lineal,
función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios
vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V
y W espacios
vectoriales sobre el mismo campo K,
y T una función de V en W.
T es una
transformación lineal si para cada par de vectores de u
y v pertenecientes a V y para cada escalar k
perteneciente a K, se satisface que:
donde k es un escalar.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Para detalles específicos sobre estos, ver el artículo Operador (mecánica cuántica).
Propiedades de las transformaciones lineales
Transformación Lineal Singular y No Singular
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformación lineal de en . Entonces, es no singular si:XEn caso contrario es singular.
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todoClasificación de las transformaciones lineales
Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo). Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.
Definición 1 Sean espacios vectoriales, y sea . Diremos
que es:
Una
transformación lineal (o morfismo ) si dados , , Un Monomorfismo si es un morfismo inyectivo.
Un epimorfismo si es un morfismo sobreyectivo.
Un isomorfismo si es un morfismo biyectivo.
Además llamaremos ( para abreviar) al espacio de
morfismos de , donde es la función constante cero,
esto es:
Y la suma y producto escalar en se definen así:
Si
, entonces es la transformación
dada por .
Si , entonces es la transformación dada por.
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