DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS
Espacio vectorial real Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.
Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.
AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL
V tal que para todo x
V, x+0 = 0+x=x
V y a es un escalar, entonces a x
- V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)
es un escalar, entonces
(x +y) =
x +
y (primera ley distributiva)
V y
y
son escalares, entonces (
+
)x =
x+x (Segunda ley distributiva)
El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,...,n.
Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo
0= y -x= , se ve que los axiomas ii) ax ) se obtienen de la
definición de matrices.
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.
Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.
TEOREMA 1
Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que
x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es un escalar.
Lo anterior dice que:
Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.
EJEMPLO
El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto 0 que consiste en el vector cero nada más es un subespacio ya que 0+0= 0 y a0 = 0 para todo número real a.
TEOREMA 2
Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces
H1 H2 es un subespacio de V.
5.3 INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio de álgebra lineal, una de las ideas centrales es la dependencia o independencia lineal de los vectores.
DEFINICIÓN
Dependencia e independencia líneal sean v1, v2, ..., vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son lineamientos dependientes si existen n escalares no todos cero tales que
C1 v1 + c2 v2 + ... cnvn = 0
Si los vectores no son lineamientos dependientes, se dice que son lineamientos independientes.
TEOREMA 1
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro.
TEOREMA 2
Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n>m.
TEOREMA 3
A=
Entonces las columnas de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y solo si el sistema , que se puede escribir como Ac = 0, tiene soluciones no triviales.
TEOREMA 4
Sean v1, v2, ..., vn, n vectores en Rn y sea A una matriz de n*n cuyas columnas son v1, v2, ..., vn. Entonces v1, v2, ..., vn son linealmente independientes si y sólo si la única solución al sistema homogéneo Ax= 0 es la solución trivial x=0.
TEOREMA 5
Sea A una matriz de n*n. Entonces det A = 0 si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.
TEOREMA 6
Cualquier conjunto n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn
EJEMPLO
Dos vectores linealmente dependientes en R4
Los vectores v1= y v2= son linealmente dependientes ya que v2= -3v1.
5.4 BASES Y DIMENSIÓN
DEFINICIÓN
Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un espacio vectorial V si
En Rn se define
Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn.
EJEMPLO
Base canónica para M22 que , , y generan a M22
Si
= C1 + C2 + C3 + C4 = , entonces es obvio que c1 = c2=c3=c4= 0. Así, estas matrices son linealmente independientes y forman una base para M22 .
DEFINICIÓN
Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.
EJEMPLO
La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rn constituye una base, se ve que
Dim Rn = n
Espacio con producto interno.- Un espacio vectorial complejo V se llama espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un número complejo único (u,v), llamado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y
C , entonces
| |
Un producto interno en Rn Rn .- es un espacio con producto interno con (u, v)= u * v.
DEFINICIÓN 2
Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v estan en V. Entonces
i. U y v son ortogonales si (u, v) = 0
Nota: A la u se le pone doble barra para evitar confusión con el valor absoluto
EJEMPLO
Dos vectores ortogonales en C2 En C2 los vectores (3, -1) y (2, 6i) son ortogonales porque
((3, -1), (2, 6i)) = 3*2 + (-i)(6i) = 6 + (-i)(-6i) = 6 -6 = 0 además (3, -i)) = = .
DEFINICIÓN 3
Conjunto ortonormal .- El conjunto de vectores v1, v2, . . ., vn es un conjunto ortonormal en V si
(vi, vj) = 0 para i
y
vi = = 1
DEFINICIÓN 4
Complemento ortogonal.- Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. Entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, está dado por
H = x
V : (x, h) = 0 para todo h
H
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