Además de las propiedades ya
estudiadas, el producto escalar de vectores cumple las dos propiedades
siguientes:
1.Asociativa:
Siendo u y v dos
vectores cualesquiera y λ un
número real, se verifica
|
u .
( v + w ) = u.v + u.w
|
domingo, 5 de agosto de 2012
Productos escalar y propiedades
Longitud y dirección de un vector coordenado
Un
número real puede ser representado como un punto de una línea recta, una pareja
de números reales puede ser representado por un punto en el plano y una terna
de números reales puede ser representado por un punto en el espacio. Aunque no
se pueda dar una representación geométrica de las n-tuplas
ordenadas existen interpretaciones útiles para ellas. Por ejemplo como solución
de un sistema de ecuaciones lineales de n
incógnitas, al igual que en el espacio de dos dimensiones nos referimos a los
pares ordenados como puntos del espacio de dos dimensiones nos referimos a las
n-tuplas
ordenadas como puntos en el espacio de n
dimensiones.
Longitud
y dirección de un
vector coordenado
El
teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo
en R3. Si del
teorema de Pitágoras se tiene que aplicando
el
teorema de Pitágoras al vector OR tenemos que y remplazando esta última
ecuación en la primera se tiene que
como la norma de un vector es no
negativa que tenemos.Sustracción de vectores.
La
diferencia de los vectores A Y B se representa
analíticamente por A-B y es igual al
vector D, tal
que sumado con el vector B, se obtiene
el vector A. Para
quela operación sustracción de vectores resulte clara se recurre a la suma de
vectores, la que permite formular la
sustracción de la siguiente manera: para restar el vector B del
vector A es decir,
para obtener A-B, se
suma al vector A el vector negativo
del vector B, o sea
- B,
obteniéndose:
A +
(-B) = A - B = D
La resta de 2 vectores se lograsumando un vector al negativo de otro.El negativo de un vector se determinaconstruyendo un vector igual enmagnitud, pero en dirección opuesta.Por ejemplo, si A es un vector cuyamagnitud es 40 m y cuya dirección eshacia al este, entonces el vector-A esun desplazamiento de 40 m dirigidos aloeste. Igual que en algebra, se puededecir que:
A-B=A+(-B)
La resta de 2 vectores se logra sumando un vector al negativo deotro
En coordenadas, si el vector u = (u1, u2) y v = (v1, v2), el vector diferencia se calcula restando coordenada a coordenada:
u - v = (u1, u2) - (v1, v2) = (u1 - v1, u2 - v2)
Resta
de vectores
Para
restar dos vectores u y v, se
toman vectores equipolentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la
diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de u, y el extremo, en el extremo de v.
El
vector resultante se denota u - v.
Multiplicación de un escalar por un vector
Se llaman escalares a los números
reales, cuando se está trabajando con vectores en el plano cartesiano. Todo
vector (a,b)se puede multiplicar por un escalar h, es decir por un número real h, de la siguiente manera:
h(a,b)=(ha,hb)
Ejemplo:
Si v =(-2,3) y h=2, entonces h v=2(-2,3)=(-4,6).
Multiplicación de un escalar por un
vector
•Propiedades de la multiplicación de un vector por un número
•Asociativa:
k · (k' ·u ) = (k · k') · u
•Distributiva
I
k · (u + u ) = k · u + k ·u
•Distributiva II
(k + k') · u =
k
·
u
+
k' · u
•Elemento
neutro
1 ·
u
= u
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