certidumbre

propiedades de las transformaciones lineales

Sean $V_{}^{}$ y $W_{}^{}$ espacios vectoriales sobre $K_{}^{}$ (donde $K_{}^{}$ representa el cuerpo) se satisface que:
Si $T: V \rarr W$ es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de $T_{}^{}$ de la siguiente manera:

$\operatorname{ker}(T)=\{\,v\in V:T(v)=0_W\,\}$
$\operatorname{Im}(T)=\{\,w\in W: \exists v\in V:T(v)=w\,\}$

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

$0_V \in \operatorname{ker}(T)$ dado que $\operatorname {T}(0_V) = 0_W$
Dados $u , v \in \operatorname{ker}(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in \operatorname{ker}(T)$
Dados $u \in \operatorname{ker}(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in \operatorname{ker}(T)$

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. $\operatorname{null}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T))$
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

$\operatorname{ran}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))$

una función lineal es la correspondencia

tranformaciones lineales

DEFINICIÓN

Transformación lineal.- Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v

V un vector único Tv

W y que satisface para cada u y v en V y cada escalar,

T (u + v) = Tu + Tv

v) =

Terminología. Las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.

EJEMPLOS

La transformación cero.- Sean V yW espacios vectoriales y defina T:V W por Tv= 0 para todo v en V. Entonces T(v1 + v2) = 0= 0 + 0= Tv1 + Tv2 y t (

v) = 0=

Tv. En este caso T se llama la transformación cero.

La transformación identidad.- Sea V un espacio vectorial y defina I: V V por Iv= v para todo v en V. Aquí es obvio que I es una transformación lineal, la cual se llama transformación identidad u operador identidad.

Transformación dee reflexión.- Sea T: R2 R2 definida por T = . Es sencillo verificar T es lineal. Geométricamente , T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y.

6.2 IMAGEN Y NÚCLEO

DEFINICIÓN

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal.

Entonces

El núcleo de T, denotado por un T , esta dado por

Un T= v

V: Tv = 0

La imagen de T, denotado por imagen T, está dada por

Imagen T = w

W: w = Tv para alguna v

V
EJEMPLO
Núcleo e imagen de la transformación cero.- Sea Tv= 0 para todo v

V (T es la transformación cero). Entonces un T = V e imagen T = 0

representación matricial de una transformación lineal

Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, W un espacio vectorial real de dimensión m y T: V W una transformación lineal. Sean B1= v1, v2, . . ., vn una base para V y B2

defenicion de ecuacinoes lineales

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.

Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:

(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).

Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + .....................+a_1nx_n = b₁

a_21x₁ + a₂₂x₂ + .....................+a_2nx_n = b₂

...............................................................

a_m1x₁ + a_m2x₂ + .....................+a_mnx_n = b_m

x_i son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).
a_ij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).
b_i son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).
m, n ; m > n, ó, m = n, ó, m < n.
Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.
a_ij y b _i .
Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...
Cuando b_i = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

Resolución de ecuaciones lineales

En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Ejemplos de ecuaciones lineales